volume

Voglio solo accennare a qualche esperienza.

Si possono disporrè cinque cubi uguali uno sull'altro e sei cubi uguali ai precedenti, tre su tre; si hanno cosi due parallele­pipedi che hanno diverso volume ma di cui risulta uguale la superficie.

Se si vuole mettere meglio in luce l'idea cM. volume come spa­zio racchiuso da una certa superficie, si possono prendere due fogli rettangolari uguali e chiedere di costruire due parallelepi­pedi retti, utilizzando tutto e solo un foglio per ciascuno di essi. Ci si accorge subito che il problema, apparentemente semplice, presenta qualche difficoltà, tanto che bisogna suggerire dei dati ai ragazzi.

Nelle esperienze ora descritte si tratta di solidi staccati uno dall'altro, non di un solido che, per continuità, si trasforma in un altro di diverso volume: la costruzione di solidi articolabili e che realizzino il caso ora detto si presenta alquanto artificiosa.

lo penso che il solido che piu si presta didatticamente ad esperienze su volume e superficie sia il cilindro; parlo del cilin­dro circolare retto e limitato che si considera in generale nelle nostre scuole. Ecco alcune esperienze che si possono immaginare sul cilindro:

1) consideriamo i due cilindri che si ottengono facendo ruotare un rettangolo attorno all'uno o all'altro dei suoi lati. Da una semplice risoluzione algebrica risulta che i cilindri ottenuti facendo ruotare un rettangolo di dimensioni a e b attorno ad a o attorno a b, avranno volumi proporzionali rispettivamente a b e ad a, cioè avrà volume maggiore quello che ha raggio maggiore, e, quindi, altezza minore. Ora, se questo risultato è evidente da una lettura della formula, da un punto di vista geometrico, fisico direi, esso sembra urtare con l'intui­zione: si tratta infatti dello stesso rettangolo che ruota, ora at· torno a un lato e ora attorno all'altro lato, e che sembra quindi dover .• spazzare" lo stesso spazio.

Dire agli allievi di non fidarsi dei sensi e di credere invece ciecamente nella formula? Noi sappiamo quello che significhi la fiducia cieca nella formula; sappiamo che il ragazzo, arrivato al risultato, lo prenderà sempre" per buono», anche davanti agli assurdi che possono darsi se ha, per esempio, sbagliato la posizione di una virgola in un calcolo.

La cieca fiducia nella formula è sempre molto pericolosa; conduce a non controllare i risultati con i sensi e a disprezzare il reale.

il contorno della figura, proprio come il disegno, ma è il cambia­mento di superficie, la sua trasformazione che attira lo sguar­do e il pensiero e che fa intuire il concetto di estensione.

Se non è facile cogliere la nozione di area che - come abbiamo visto - viene spesso confusa con quella di perime­tro, è ancor piti difficile rendersi conto del concetto di volume. Varie sono le cause di questa difficoltà: secondo J ean Piaget l una causa dipende dal fatto che mentre l'area si riferisce alla superficie, che è un'astrazione, nella nozione di volume si crea una confusione fra la quantità di materia, che è qualcosa di concreto, e il volume fisico, cioè lo spazio occupato, che è un'astrazione.

A questa causa se ne aggiungono altre che cercheremo di mettere in luce con qualche esempio. Abbiamo visto come il concetto di superficie viene chiarito dalla considerazione di figu­re che hanno lo stesso perimetro e diversa area o che hanno uguale area e diverso perimetro. Esempi analoghi nello spazio sono spesso assai difficili da realizzare: dovremmo fare due tipi di esperienze:

1) costruzione di solidi di ugual volume e superficie di-

2) costruzione di solidi di ugual superficie e volume diverso.

Esperienze del primo tipo sono semplicissime; basta, per esempio, disporre in modo diverso lo stesso numero di cubi.

Per esperienze del secondo tipo, cominceremo a far pensare al pallone che si sgonfia, alla fisarmonica, a un cono di feltro il cui vertice venga tirato verso l'interno con uno spago; alcuni di questi esempi, benché semplici, portano a delle questioni pro­fonde di geometria.

Ma, se si vuole mantenersi al livello di un insegnamento elementare, queste esperienze non si possono tradurre analitica­mente; se invece si propongono degli esempi semplici, risolubili quantitativamente anche da un ragazzetto di scuola media, ci si incontra spesso in difficoltà per la realizzazione dei modelli.

1 J. PIAGET, B. INI-lELDER, A. SZEMINSKA, La géométrie spontanée de l'enjant, Paris, Presses Universitaires de France, 1948, cap. XIV.

D'altra parte, se la percezione data dai sensi porta a for­mulazioni errate, vuoI dire che i sensi sono stati male utilizzati. E, in effetti, è cosi: noi abbiamo utilizzato i sensi per avere delle intuizioni su un ente geometrico ideale, mentre i sensi ci possono dire qualcosa solo se la figura è materiale.

Se vogliamo dunque utilizzare i sensi dovremo pensare al rettangolo come realizzato materialmente, cioè dovremo pensare al punto come avente delle dimensioni. Allora: se il rettangolo ruota attorno al lato maggiore ci sarà un numero maggiore di punti - quelli che si trovano su questo lato - che rimangono fermi, tali cioè che, nella rotazione, non cooperano a racchiude­re alcuno spazio; gli altri punti descriveranno delle circonferen­ze tanto maggiori quanto maggiore è la loro distanza dall'asse.

Se invece facciamo ruotare il rettangolo attorno al lato minore, i punti che restano fermi sono in minor numero, e gli altri (come si vede dalla fig. 34) descrivono delle circonferenze

di raggi maggiori che nel primo caso. Dunque, complessiva. mente, gli spazi racchiusi dalle varie circonferenze sono mag­giori in questo secondo caso; il volume del secondo cilindro è quindi maggiore.

I nostri sensi si sono esplicati su un'oggetto materiale; il risultato percettivo è concorde a quello analitico.

Ma, anche un ragionamento astratto può condurre a chiarire il concetto da un punto di vista geometrico, purché, allora, non venga applicato a una figura materiale: occorre che il materiale - il nostro rettangolo - si " smaterializzi ". Ora, questo pas­saggio dal concreto all'astratto si può effettuare con un ragio­namento " al limite ": pensiamo a un rettangolo di dimensioni variabili, e immaginiamo che una dimensione tenda ad aumen-

tare mentre l'altra diventi sempre piu piccola; al limite, una rotazione del rettangolo, C~Sl smaterializzato, darà luogo, in un caso, a un cilindro ridotto al suo asse, e, nell 'altro, a un cilindro ridotto alla sua base. La differenza dimensionale - lunghezza nel primo caso e superficie nel secondo - ci fa intuire la verità sulla differenza dei volumi.

Con considerazioni analoghe si può spiegare un altro pro­blema relativo al cilindro, problema che si trova in Galilei:

Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Si chiede: i due cilindri che si ottengono curvando op­portunamente, nell'uno o nell'altro senso, un foglio rettangola­re di dimensioni a e b avranno o no lo stesso volume? Anche qui, come nel caso precedente, il ragazzo è subito condotto a ri­srondere SI, ma anche qui accade che la risoluzione analitica non dà conferma alla prima intuizione.

Potremo anche ora considerare il problema da due punti di vista: o esplicando i sensi su un oggetto materiale ovvero ragionando in termini astratti su un ente matematico.

Consideriamo il primo caso: prendiamo una strisciolina assai sottile, di dimensione minore a e dimensione maggiore b (fig. 35). Curviamo la strisciolina in modo da formare un cilin-

ciro di altezza b e circonferenza di base a; otterremo COSI, data la grande differenza fra le dimensioni del rettangolo, un sottile tubo (fig. 36).

Curviamo poi la striscia di carta in modo da formare un cilindro di altezza a e circonferenza di base b (fig. 37).

Immaginiamo ora di poter piegare ad anello la superficie del primo cilindro; questo anello circolare (toro) potrà essere adagia to sulla base del secondo cilindro (fig. 38), ma, eviden te-

mente, non occuperà tutto lo spazio racchiuso da questo, sia perché lo spessore dell'anello è minore dell'altezza a sia anche

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perché l'anello, come tale, non riempie del tutto la base del secondo cilindro.

In conclusione, il primo cilindro è contenuto nel secondo, cioè il suo volume è mmore.

Il secondo punto di vista ci conduce ad applicare conside­razioni astratte ad enti ideali.

Pensiamo a un rettangolo di dimensioni variabili; immagi­nando di curvare questo rettangolo nell'uno o nell'altro senso, si otterrà, al limite, o una lunghezza - l'asse del cilindro ­ovvero un'area - l'area del cerchio base del cilindro. ­Anche qui, come nell'esperienza descritta a p. 123, la diffe­renza fra le dimensioni è assai espressiva ai fini di un'intuizione sui volumi dei due cilindri.

Mi sembra che si possa concludere COSI: ad una intuizione geometrica non errata si giunge o esplicando i sensi su un oggetto materiale, ovvero con un ragionamento astratto con­dotto su un ente ideale. Abbiamo dunque un doppio binomio: il binomio " sensi - oggetto concreto" e il binomio " ragio­namento astratto· ente ideale". Sono convinta che questo duplice esercizio, questo continuo alte!'narsi di ragionamenti concreti ed astratti, sia estremamente formativo; si eviterà in tal modo che il ragazzo si abbandoni alla facile formula che può condudo alla pigrizia mentale e alla sfiducia nel concreto e nel valore dei propri sensi.

È noto a chi insegna come uno dei concetti che risultano pitI difficili al bambino sia quello di frazione. Vogli amò esa· min'<lre le cause di qneste difficoltà, e indagare se le ragioni dei nostri frequenti insuccessi didattici non siano da attribuirsi ad un insegnamento che non segue una metodologia adeguata all'età del bambino.

A proposito dei nostri insuccessi cominciamo col fale una constatazione abbastanza triste: quando il bambino entra nella scuola media ha già acquisito, sul piano concreto, il concetto di frazione, pitI precisamente di quelle frazioni che si usano in pratica. Quando dunque noi iniziamo uno studio sistematico il nostro allievo ne ha già qualche cognizione, ottenuta - lo ripeto - per esperienza. Dopo uno o due anni del nostro insegnamento, dopo infiniti esercizi su espressioni con numeri {razionari, si verifica che il nostro giovanetto non sa pitI cogliere

l

ad occhio il valore delli differenza 1 - 4" ed esegue la sottra·

zione dicendo che «deve ridurre le due frazioni allo stesso